解卷積恢復頻譜

01?解卷積

一、前言

前兩天討論了在單片機頻譜分析軟件中，通過數(shù)據(jù)加窗方法來減少結(jié)果中的雜散頻譜。有同學提議，既然理論上知道，舉行加窗引起結(jié)果中頻譜失真。是信號頻譜與 方波的頻譜，也就是 sinc 函數(shù)卷積的結(jié)果。那么為什么不能夠直接對頻譜信號，通過解卷積運算，恢復原始信號的頻譜呢？? ?提出這個觀點的同學顯然對于卷積，解卷積運算比較熟悉。那么到底是否可以通過解卷積來恢復原始信號的頻譜呢？

二、解卷積

對于兩個離散序列信號，它們的卷積，?定義為右邊的表達式。如果已知它們的卷積結(jié)果，以及其中一個信號，求解另外 一個信號，這個過程被稱為解卷積。一般情況下，求解解卷積不太方便。但是，當兩個信號都是因果信號時，我們可以有一個比較簡潔的解卷積遞推公式。也就是把卷積和分成兩部分，把卷積結(jié)果記為 y[n]，基于這個表達式，我們可以得到 x[n] 求解的遞推公式。

基于這個表達式，將累加部分，轉(zhuǎn)移到方程的左邊，???再把 h[0] 除到左邊，這一下就好了，我們得到了 關(guān)于 x[n] 求解的遞推公式了。

在這個公式中，y[n]是已知的卷積結(jié)果，h[n]是已知的一個序列。從 0 到 n-1 的 x[n] 是已經(jīng)求出的前 x[n]由此，可以計算出 x[n]。根據(jù)這個方法，?可以寫出x[0] ?的表達式，接下來求出x[1]，求出x[2]，求出x[3]。由此，逐步求出所有的 x[n] 的取值。

這種通過遞推進行解卷積的方法，需要一個假設條件，那就是要求參與卷積的兩個序列信號 ?x[n], h[n] ?都是因果信號才行。

在前面數(shù)據(jù)加窗頻譜分析過程中，參與卷積的兩個頻譜，矩形窗口的頻譜不是因果信號。所以，上面解卷積的方法就無法使用。

三、時域分析

實際上，無法通過解卷積獲得信號真實頻譜，這其中的原因也可以在時域進行分析。對于得到的一段數(shù)據(jù)，是由無限長的正弦波與窗口信號相乘而得。因此，將加窗后的數(shù)據(jù)，除以窗口信號?理論上就可以得到原始信號。但在這里就遇到了困難。因為窗口信號兩邊都是 0，實際上 乘以 0 之后，原來的數(shù)據(jù)是無法從乘積結(jié)果中進行恢復的。這也說明，無法通過對頻譜進行解卷積獲得實際頻譜了。

※ 結(jié)??論 ※

本文對通過解卷積恢復數(shù)據(jù)頻譜進行了探討。實際上，是無法進行恢復的。