干貨 | FIR數(shù)字濾波器設計（中）

今天給大俠帶來FIR數(shù)字濾波器設計，由于篇幅較長，分三篇。今天帶來第二篇，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器設計基礎，包括FIR數(shù)字濾波器的特點、線性相位條件以及基本結構。話不多說，上貨。

數(shù)字濾波器的輸入輸出均為數(shù)字信號，信號通過數(shù)字濾波器后，可以改變頻率成分的相對比例或濾除某些頻率成分。數(shù)字濾波器可以分為IIR數(shù)字濾波器和FIR數(shù)字濾波器。

本篇只介紹FIR數(shù)字濾波器的設計，可以根據(jù)所給定的頻率特性直接設計FIR數(shù)字濾波器。FIR數(shù)字濾波器在保證幅度特性滿足要求的同時，能夠做到嚴格的線性特性。

本篇采用了窗函數(shù)法、頻率采樣法以及基于firls函數(shù)和remez函數(shù)的最優(yōu)化方法設計FIR濾波器。對FIR濾波器進行了詳細的理論分析，并且對應于每種方法都給出了設計實例。通過編寫MATLAB語言程序，運行程序，得到幅頻和相頻特性圖。

對于窗函數(shù)和firls函數(shù)設計的濾波器，還通過建立Simulink系統(tǒng)模塊進行仿真，觀察濾波器濾波情況。

FIR數(shù)字濾波器設計基礎

一、FIR數(shù)字濾波器的特點
FIR濾波器在保證幅度特性的同時，很容易做到嚴格的線性相位特性。

在數(shù)字濾波器中，F(xiàn)IR濾波器的最主要特點是沒有反饋回路，故不存在不穩(wěn)定的問題。

同時，在幅度特性可以任意設置的同時，保證了精確的線性相位。

穩(wěn)定和線性相位是FIR濾波器的突出優(yōu)點。

另外還有以下特點：

• 設計方式是線性的；

• 硬件容易實現(xiàn)；

• 濾波器過渡過程具有有限區(qū)間；

• 相對IIR濾波器而言，階次較高，其延遲也要比同樣性能的IIR濾波器大得多。

二、FIR數(shù)字濾波器的線性相位條件

設濾波器單位脈沖響應的長度為N，系統(tǒng)函數(shù)為關系式（2-1），如下：

由此式可見，H(z)是的(N-1)次多項式,它在Z平面上有(N-1)個零點，原點z=0是(N-1)階重極點，位于r =1的單位圓內，系統(tǒng)永遠穩(wěn)定。穩(wěn)定性和線性相位特性是FIR濾波器的突出優(yōu)點。

FIR濾波器的設計任務是選擇有線長度的h(n)，使傳輸函數(shù)滿足要求。

線性相位條件為關系式（2-2），如下：

對于長度為N的h(n)，傳輸函數(shù)為關系式（2-3），如下：

上式中,稱為幅度特性，稱為相位特性。線性相位是指相位函數(shù)滿足如下特性：

或

是起始相位，為常數(shù)，一般稱第一種情況為第一類線性相位，稱第二種情況為第二類線性相位。

滿足第一類線性相位的充要條件是：h(n)為實序列，并且對(N-1)/2偶對稱，

即：

；

滿足第二類線性相位的充要條件是：h(n)為實序列，并且對(N-1)/2奇對稱。

即：

。

三、FIR數(shù)字濾波器的基本結構

FIR濾波器的基本結構有以下幾種：直接型、級聯(lián)型、線性相位型、頻率采樣型。

1、直接型

設FIR濾波器的單位沖擊響應h(n)為一個長度為N的序列，則濾波器系統(tǒng)函數(shù)為關系式（2-4），如下所示：

表示這一系統(tǒng)輸入輸出關系的差分方程為關系式（2-5），如下所示：

直接由差分方程可得出對應的網(wǎng)絡結構如圖2-1所示：

圖2-1 ?FIR濾波器的直接型結構

直接型結構的優(yōu)點：簡單直觀，乘法運算量較少。

缺點：調整零點較難。

2、級聯(lián)型

當需要控制濾波器的傳輸零點時，可將H(z)分解為實系數(shù)二階因子的乘積形式，見關系式（2-6），如下所示：

上式中，為的 變換，，，為實數(shù)。級聯(lián)型結構如圖2-2所示：

圖2-2 ?FIR濾波器的級聯(lián)型結構

該結構的優(yōu)點：調整零點比直接型方便。

缺點：中的系數(shù)比直接型多，因而需要的乘法器多。當的階次高時，也不易分解。

3、線性相位型結構

FIR濾波器的線性相位結構有偶對稱和奇對稱，不論為偶對稱還是奇對稱都有：

當N為偶數(shù)時，系統(tǒng)函數(shù)為關系式（2-7），如下所示：

當N為奇數(shù)時，系統(tǒng)函數(shù)為關系式（2-8），如下所示：

對這兩種情況，都可以用FIR直接型實現(xiàn)，其信號流圖如圖2-3所示。

(a)N為偶數(shù)

(b)N為奇數(shù)

圖2-3 ?線性相位型結構

這種結構在本質上是直接型，但乘法次數(shù)比直接型省了一半。

4、頻率采樣型

頻率采樣型結構是一種用系數(shù)將濾波器參數(shù)化的一種實現(xiàn)結構。一個有限長序列可以由相同長度頻域采樣值惟一確定。

系統(tǒng)函數(shù)在單位圓上作N等分取樣就是單位取樣相應h(n)的離散傅里葉變換。與系統(tǒng)函數(shù)之間的關系可用內插公式表示，為關系式（2-9），如下所示：

上式中，

這樣，是由梳狀濾波器和N個一階網(wǎng)絡的并聯(lián)結構進行級聯(lián)而成的，其網(wǎng)絡結構（信號流圖）如圖2-3所示。是一個梳狀網(wǎng)絡，其零點為：

, ? ?k= 0, 1，2…，N-1

剛好和極點一樣，等間隔地分布在單位圓上。理論上，極點和零點相互抵消，保證了網(wǎng)絡的穩(wěn)定性。

圖2-5 ?FIR濾波器的頻率采樣結構

頻率采樣結構的優(yōu)點：

1)在頻率采樣點，，只要調整就可以有效地調整頻響特性。

2）只要長度N相同，對于任何頻響，其梳狀濾波器部分和N個一階網(wǎng)絡部分完全相同，只是各支路增益不同。相同部分便于標準化、模塊化。

缺點：

1）寄存器長度都是有限的，零、級點可能不能正好抵消，造成系統(tǒng)不穩(wěn)定。

2）當N很大時，其結構很復雜，需要的乘法器和延時單元很多。

第二篇就到這里，下一篇帶來第三篇，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器設計，包括窗函數(shù)法設計FIR濾波器、頻率采樣法設計FIR濾波器以及基于firls函數(shù)和remez函數(shù)的最優(yōu)化方法設計FIR濾波器。